संभाव्यतेची तत्त्वे आणि प्रसामान्य संभाव्य वक्र | Probability and Normal Probability Curve |

 

संभाव्यतेची तत्त्वे आणि प्रसामान्य संभाव्य वक्र

संख्याशास्त्राचे अध्ययन करताना संभाव्यता (Probability) ही सर्वात महत्त्वाची आणि आधारभूत संकल्पना आहे. कारण कोणत्याही घटना, मापन किंवा संशोधनातून मिळालेल्या निष्कर्षांचा अर्थ लावण्यासाठी त्या घटनांच्या घडण्याची शक्यता किती आहे हे जाणून घेणे अत्यावश्यक असते. याच संभाव्यतेच्या तत्त्वांचा उपयोग करून प्रसामान्य संभाव्य वक्र (NPC) ही अत्यंत महत्त्वाची सांख्यिकीय संकल्पना उभी राहते. NPC हे असे वितरण आहे जे दर्शविते की गटातील बहुतेक मूल्ये सरासरीच्या आसपास केंद्रित असतात आणि टोकाकडे जाईल तसा त्यांच्या घडण्याचा दर कमी होत जातो. परिणामी वक्र घंटाकृती आणि सममित दिसतो.

संभाव्यतेची तत्त्वे (Probability Principles)

प्रसामान्य संभाव्य वक्र (Normal Probability Curve - NPC) समजून घेण्यासाठी सर्वात सोपा दृष्टिकोन म्हणजे संभाव्यतेच्या प्राथमिक सिद्धांतांचा विचार करणे होय. सांख्यिकीमध्ये “संभाव्यता” या संज्ञेचा अर्थ असा घेतला जातो की एखादी घटना तिच्याच प्रकारातील अनेक घटनांपैकी किती वेळा घडण्याची अपेक्षा आहे. ही अपेक्षित वारंवारता (expected frequency) कधी घटना घडण्याचे नियम आपणास माहीत असल्यामुळे ठरते. उदा., पासा टाकणे किंवा नाणे उडवणे तर कधी मानसिक किंवा सामाजिक मापनामध्ये मिळालेल्या अनुभवाधिष्ठित (empirical) माहितीवर आधारित असते.

एखाद्या घटनेची संभाव्यता गणितीय स्वरूपात प्रमाण (ratio) म्हणून मांडली जाऊ शकते. निष्पक्ष (unbiased) नाणे ‘हेड’ येण्याची संभाव्यता 1/2 असते, आणि निष्पक्ष पासा टाकल्यास त्यावर दोन बिंदू (two-spot) येण्याची संभाव्यता 1/6 असते. या प्रमाणांना "संभाव्यता प्रमाण" (probability ratios) म्हणतात. या प्रमाणातील अंश (numerator) म्हणजे अपेक्षित किंवा इच्छित परिणाम, आणि भाजक (denominator) म्हणजे सर्व शक्य परिणामांची संख्या. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, 6 बाजू असलेल्या घनावर कोणतीही बाजू (उदा. 4 बिंदू असलेली बाजू) येण्याची संभाव्यता 1/6 असते, म्हणजे इच्छित परिणाम ÷ एकूण शक्य परिणाम असे येते.  

संभाव्यता प्रमाण नेहमी 0.00 (घटना अशक्य) आणि 1.00 (घटना निश्चित) या दोन मर्यादांदरम्यान असते. उदाहरणार्थ, सूर्य पश्चिमेकडे उगवण्याची संभाव्यता 0.00 आहे; तर सध्याचा एखादा मनुष्य कधीतरी मृत्युमुखी पडेल ही संभाव्यता 1.00 आहे. या दोन टोकांच्या दरम्यान सर्व प्रकारच्या घडण्याच्या शक्यता योग्य प्रमाणांनी व्यक्त करता येतात.

आता या सोप्या तत्त्वांचा उपयोग नाणे उडवण्याच्या उदाहरणावर लागू करून पाहू.

जर आपण एक नाणे उडवले, तर ते 100% वेळा ‘हेड’ (H) किंवा ‘टेल’ (T) यापैकी एकच येईल. तसेच, नाणे एकदा उडवण्यामध्ये फक्त दोनच पर्याय असल्याने ‘हेड’ किंवा ‘टेल’ येण्याची संभाव्यता समान असते. त्यामुळे, प्रमाणानुसार:

H येण्याची संभाव्यता = 1/2

T येण्याची संभाव्यता = 1/2

(H + T) = 1/2 + 1/2 = 1.00

आता आपण दोन नाणी (a) आणि (b) एकाच वेळी उडवू. या वेळी पुढील चार शक्यता मिळू शकतात:

शक्यता	1		2		3		4
नाणे	a	b	a	b	a	b	a	b
H किंवा T	H	H	H	T	T	H	T	T

म्हणजे दोन्ही नाणी H येऊ शकतात; (a) H आणि (b) T येऊ शकते; (b) H आणि (a) T येऊ शकते; किंवा दोन्ही T येऊ शकतात.

संभाव्यता प्रमाणानुसार:

HH येण्याची संभाव्यता = 1/4

TT येण्याची संभाव्यता = 1/4

HT येण्याची संभाव्यता = 1/4

TH येण्याची संभाव्यता = 1/4

सामान्यतः HT आणि TH यात फरक नसतो, त्यामुळे त्यांची बेरीज केली जाते:

HT किंवा TH येण्याची एकत्रित संभाव्यता = 1/4 + 1/4 = 1/2

यामुळे एकूण संभाव्यता प्रमाणांचे बेरीज: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.00 येते.

प्रसामान्य वितरण वक्र यासंबंधी संकल्पना:

प्रसामान्य वितरण वक्र (Normal Distribution Curve) हा संख्याशास्त्रातील सर्वाधिक महत्त्वाचा आणि आधारभूत वक्र मानला जातो. हा वक्र असे दर्शवितो की कोणत्याही गटातील बहुतांश मूल्ये सरासरीच्या (Mean) आसपास केंद्रित असतात आणि सरासरीपासून दूर जाताना मूल्यांची वारंवारता क्रमाक्रमाने कमी होत जाते. या कारणामुळे तयार होणारा वक्र घंटाकृती (Bell-shaped) दिसतो. प्रसामान्य वितरणाची वैशिष्ट्ये म्हणजे त्याची पूर्ण सममिती—ज्यात Mean, Median आणि Mode हे तिन्ही समान आणि मध्यभागी असतात आणि त्याचा व्यवस्थित घंटाकृती आकार. बहुतेक नैसर्गिक व मानसशास्त्रीय मापने जसे की IQ स्कोअर, चिंता पातळी, प्रतिक्रिया काळ आणि उंची हे प्रसामान्य वितरणाचे पालन करतात. त्यामुळे मोठ्या गटांतील व्यक्तिंचा प्रवाह समजण्यासाठी Normal Distribution हा अत्यंत उपयुक्त पाया ठरतो.

1. विषम विचलन (Skewness):

विषम विचलन (Skewness) ही संकल्पना प्रसामान्य वितरण वक्राची सममिती किंवा असममिती मोजते. जर वक्र पूर्णतः सममित असेल तर Skewness = 0 आणि वितरणाला Perfectly Normal म्हणतात. मात्र वास्तवातील बर्‍याच डेटामध्ये असममिती आढळते. Positive Skew असल्यास वक्राची शेपटी उजव्या बाजूला लांब असते आणि जास्तीत जास्त मूल्ये डावीकडे एकवटलेली दिसतात. उदाहरणार्थ, कठीण परीक्षेत बहुतेक विद्यार्थ्यांचे गुण कमी आणि काहींचेच जास्त असतील तर वितरण Positive Skew दाखवते.

Negative Skew असल्यास शेपटी डाव्या बाजूला लांब असते, म्हणजे मूल्ये प्रामुख्याने उजव्या बाजूस एकवटलेली असतात; उदा., सोप्या परीक्षेत बहुतेक विद्यार्थ्यांचे गुण जास्त मिळतात.

Skewness डेटा कोणत्या दिशेने पसरत आहे, Mean आणि Median यांचे नाते काय आहे, व कोणते सांख्यिकीय परीक्षण योग्य असेल याविषयी महत्त्वाची माहिती देते.

2. ककुदता (Kurtosis):

ककुदता (Kurtosis) हा वितरणाच्या टोकदारपणा (Peakedness) किंवा चपटेपणाचे (Flatness) परिमाण दर्शवतो. प्रसामान्य वितरण Mesokurtic मानले जाते ज्यात वक्र ना खूप टोकदार ना खूप चपटे असते.

Leptokurtic वितरणामध्ये वक्र अधिक उंच आणि टोकदार असतो; याचा अर्थ Mean च्या आसपास डेटा अत्याधिक एकवटलेला असून गटातील व्यक्तींच्या कामगिरीतील विविधता कमी असते. मानसशास्त्रीय प्रयोगांमध्ये अनेकदा अशा प्रकारचे वितरण दिसून येते, जिथे नियंत्रित परिस्थितीमुळे व्यक्तींमध्ये साम्य वाढते.

Platykurtic वितरणामध्ये वक्र अधिक रुंद आणि सपाट दिसतो, जे अधिक पसरलेला आणि विविधतेने युक्त डेटा दर्शवते. अशा स्थितीत व्यक्तींच्या गुणांमध्ये मोठे फरक आढळतात, जसे की सर्जनशीलतेसारख्या (Creativity) मापनांमध्ये दिसते.

Kurtosis डेटा किती प्रमाणात Mean च्या जवळ आहे किंवा शेपट्यांमध्ये Outliers (Outliers म्हणजे डेटामधील अशी मूल्ये जी इतर सर्व मूल्यांपासून खूप दूर, असामान्य, किंवा अस्वाभाविक असतात) किती आहेत हे स्पष्ट करते आणि डेटा-विस्ताराचा प्रकार समजण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त ठरते.

एकत्रितपणे पाहता, Normal Distribution, Skewness आणि Kurtosis या तीन संकल्पना डेटा-वितरणाची संपूर्ण आकृतीचे आकलन देतात. संशोधनात ही माहिती आवश्यक असते कारण या गुणवैशिष्ट्यांनुसार कोणत्या प्रकारचे सांख्यिकीय परीक्षण वापरावे, डेटा किती विश्वासार्ह आहे, आणि मिळालेल्या परिणामांचे अर्थ लावणे कितपत योग्य आहे हे ठरते. त्यामुळे मानसशास्त्रीय तसेच इतर वैज्ञानिक संशोधनात या संकल्पनांचे सखोल ज्ञान हे विश्लेषणाची गुणवत्ता वाढवण्यासाठी अनिवार्य ठरते.

प्रसामान्य वितरण वक्राची वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म

प्रसामान्य वितरण वक्र (NDC) हे संख्याशास्त्र आणि मानसशास्त्रीय संशोधनातील सर्वात मूलभूत व महत्त्वाचे वितरण मानले जाते. अनेक नैसर्गिक आणि मानसशास्त्रीय मापनांमध्ये, जसे की बुद्ध्यांक (IQ), उंची, वजन, प्रतिक्रिया वेळ, ताणाचे स्कोअर, स्मरणशक्तीचे मापन हे डेटा साधारणपणे प्रसामान्य वितरणाचे अनुसरण करतो. त्यामुळे प्रसामान्य वितरणाचे गुणधर्म समजून घेणे संशोधक, शिक्षणतज्ज्ञ आणि मानसशास्त्रज्ञांसाठी अत्यंत आवश्यक ठरते. या वितरणाला महत्त्व मिळण्याचे एक प्रमुख कारण आणि वैशिष्ट्ये म्हणजे त्याची “पूर्ण सममिती”. प्रसामान्य वितरण वक्र सरासरीच्या (Mean) दोन्ही बाजूंनी समान असतो. Mean, Median आणि Mode ही तीनही केंद्रीय प्रवृत्तीची परिमाणे एकाच बिंदूवर येतात, जे इतर वितरणांपेक्षा प्रसामान्य वितरणाला वेगळे स्थान देते. ही सममिती दर्शवते की बहुतेक व्यक्ती सरासरी पातळीभोवती आढळतात आणि अत्यंत कमी किंवा अत्यंत जास्त मूल्यांचे प्रमाण समान असते.

प्रसामान्य वितरणाचे आणखी एक वैशिष्ट्य म्हणजे त्याचा घंटाकृती आकार. वक्राचा मध्यभाग सर्वाधिक उंच असतो, कारण डेटा सर्वाधिक प्रमाणात Mean च्या आसपास केंद्रित असतो. Mean पासून दूर जाताना व्यक्तींचे प्रमाण हळूहळू कमी होत जाते, ज्यामुळे वक्राच्या शेपट्या (tails) क्रमाने खाली उतरतात. हे वैशिष्ट्य मानसशास्त्रीय संशोधनासाठी विशेषतः उपयुक्त आहे, कारण चाचण्यांचे गुण सामान्यतः सरासरीभोवती जास्त प्रमाणात एकवटलेले असतात आणि टोकाचे स्कोअर्स फारच कमी प्रमाणात आढळतात.

प्रसामान्य वितरणाच्या सर्वात महत्त्वाच्या गुणधर्मांपैकी एक म्हणजे 68–95–99.7 नियम (Empirical Rule). या नियमानुसार, Mean पासून एका SD (Standard Deviation) च्या आत 68% डेटा, दोन SD च्या आत 95% डेटा आणि तीन SD च्या आत 99.7% डेटा स्थित असतो. हा नियम मानसशास्त्रात प्रत्यक्ष मापनांचे आकलन करण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त ठरतो. उदाहरणार्थ, जर एखाद्या मानसशास्त्रीय चाचणीची सरासरी 100 आणि SD 15 असेल, तर बहुतेक व्यक्ती 85 ते 115 या श्रेणीत येतात. हा नियम Outliers ओळखण्यासाठी, गटाची तुलना करण्यासाठी, तसेच Percentiles आणि Z-scores मोजण्यासाठी आधारभूत साधन म्हणून वापरला जातो.

प्रसामान्य वितरणातील आणखी एक वैशिष्ट्य म्हणजे त्याचे अनंत (Asymptotic) स्वरूप. वक्राच्या दोन्ही शेपट्या x-अक्षाच्या अत्यंत जवळ जातात, परंतु कधीच स्पर्श करत नाहीत. याचा अर्थ असा की कोणतीही घटना किंवा मूल्य सैद्धांतिकदृष्ट्या शक्य असते, परंतु त्या अतिशय टोकाच्या मूल्यांची शक्यता अत्यंत कमी असते. उदाहरणार्थ, IQ 40 किंवा 180 असलेले व्यक्ती फार दुर्मीळ असतात, परंतु अशक्य नाहीत. ही Asymptotic प्रकृती probability calculations अधिक अचूक बनवते आणि अत्यंत मूल्यांचा अभ्यास करताना वास्तविकता प्रतिबिंबित करते.

शेवटचे आणि अत्यंत महत्त्वाचे वैशिष्ट्य म्हणजे प्रसामान्य वितरण वक्र फक्त दोन परिमाणांनी (Mean आणि SD) पूर्णपणे निश्चित होतो. Mean वक्राचे केंद्र ठरवतो आणि SD वक्राचे पसरटपणा किंवा अरुंदपणा ठरवतो. म्हणजेच Mean बदलल्यास वक्र डावीकडे किंवा उजवीकडे सरकतो, पण त्याचा आकार अपरिवर्तित राहतो. तर SD बदलल्यास वक्राची “रुंदी-उंची” गुणधर्म बदलतो, कमी SD असेल तर वक्र अधिक उंच व अरुंद दिसतो, तर जास्त SD असल्यास वक्र अधिक पसरट व कमी उंच दिसतो. हे वैशिष्ट्य प्रसामान्य वितरणाला अत्यंत पूर्वानुमानयोग्य बनवते, ज्यामुळे मानसशास्त्रीय मापनांचे मूल्यांकन, गुणांचे रूपांतर (Z-score, T-score), तसेच परिमितीय चाचण्यांची अंमलबजावणी सुलभ व वैज्ञानिकदृष्ट्या अचूक होते.

प्रसामान्य वितरण वक्राचे उपयोजन

प्रसामान्य वितरण वक्र हे संख्याशास्त्रातील सर्वांत मूलभूत आणि व्यापकपणे लागू होणारे मॉडेल आहे. मानसशास्त्र, शिक्षणशास्त्र, समाजशास्त्र आणि वैद्यकीय क्षेत्रात माणसाशी संबंधित अनेक मापनांचे वितरण साधारणपणे प्रसामान्य वक्राचे अनुसरण करते. मानवी बुद्धिमत्ता, तणावाची पातळी, व्यक्तिमत्त्व गुणधर्म, शैक्षणिक कामगिरी, प्रतिक्रिया वेळ आणि उंची-वजन यांसारख्या परिमाणांमध्ये बहुतेक लोकांचे गुण सरासरीच्या जवळपास असतात, तर अत्यंत जास्त किंवा अत्यंत कमी गुण मिळवणारे लोक तुलनेने कमी असतात. म्हणूनच अशा मापनातून मिळणारा डेटा घंटाकृती वक्रात बसतो आणि त्याचे विश्लेषण वैज्ञानिक दृष्टिकोनातून करणे अत्यंत सोपे होते.

मानसशास्त्रीय चाचण्यांमध्ये प्रसामान्य वितरणाचा वापर अत्यंत महत्त्वाचा मानला जातो. बुद्धिमत्ता चाचण्या, चिंता मापन, व्यक्तिमत्त्व मूल्यांकन किंवा शैक्षणिक क्षमतांचे परीक्षण असेल, तर त्या चाचण्यांचे गुण प्रसामान्य वितरणानुसारच विखुरलेले असल्याचे आढळते. प्रसामान्य वितरणामुळे percentile, stanine आणि Z-score यांची गणना अचूकपणे करता येते. Percentile व्यक्तीच्या गुणांखाली किती टक्के लोकांचे गुण येतात हे दर्शवते, ज्यामुळे त्या व्यक्तीची कामगिरी गटाच्या तुलनेत कुठे उभी आहे हे समजते. Stanine ही 1 ते 9 अशी स्केल-प्रणाली आहे जी गुणांची विभागणी साधी आणि समजण्यास सोपी करते. तर Z-score एखाद्या व्यक्तीचे गुण सरासरीनुसार किती SD वर किंवा खाली आहेत हे दाखवते. त्यामुळे अत्यंत जास्त किंवा कमी गुण पटकन ओळखता येतात आणि आवश्यक असल्यास मानसशास्त्रीय हस्तक्षेप किंवा पुनर्मूल्यांकन करण्याची प्रक्रिया सोपी होते.

संशोधनात प्रसामान्य गृहितक चाचण्या करताना Normality हा एक अत्यावश्यक पूर्वाधार असतो. t-test, ANOVA आणि Regression सारखी परिमितीय सांख्यिकीय तंत्रे डेटा प्रसामान्य वितरणात आहे या गृहितकावर आधारित असतात. उदाहरणार्थ, t-test दोन गटांच्या सरासरीतील फरक तपासताना प्रत्येक गटाचा डेटा साधारणपणे प्रसामान्य वितरणाचा असणे अपेक्षित असते; अन्यथा निष्कर्ष दिशाभूल करणारे होऊ शकतात. ANOVA मध्ये देखील F-statistic मिळवण्यासाठी Normality आवश्यक आहे, कारण तीन किंवा अधिक गटांमधील फरकांचे सांख्यिकीय विश्लेषण प्रसामान्य वितरणाची रचना वापरते. Regression विश्लेषणात विशेषतः residuals (प्रतिगमनातील त्रुटी/फरक) प्रसामान्य वितरणात असणे गरजेचे असते; यामुळे परिवर्त्यामधील संबंधांचे अनुमान अधिक विश्वासार्ह होत जाते.

प्रसामान्य वितरणाचा एक महत्त्वपूर्ण उपयोग निर्णय घेणे आणि भाकित करणे यात दिसतो. मानवी क्षमतांबद्दल किंवा जैविक मोजमापांविषयी वैज्ञानिक अंदाज बांधताना Normal Distribution अत्यंत उपयुक्त ठरतो. उदाहरणार्थ, एखाद्या प्रौढ व्यक्तीचा IQ 130 पेक्षा जास्त असण्याची शक्यता Normal Distribution आणि Z-score च्या साहाय्याने अचूकपणे मोजता येते; त्यानुसार 130 हा स्कोअर सरासरीपेक्षा 2 SD जास्त असल्याने संपूर्ण लोकसंख्येपैकी केवळ सुमारे 2.28% लोक इतका उच्च IQ असतात. अशा प्रकारचे विश्लेषण उच्च क्षमतांचे निदान, प्रतिभावान विद्यार्थ्यांची निवड किंवा संशोधनातील विशेष गट ओळखण्यासाठी वापरले जाते.

शैक्षणिक व क्लिनिकल निदान प्रक्रियेतही Normal Distribution चा उपयोग अत्यंत महत्त्वाचा आहे. कट-ऑफ स्कोअर निश्चित करताना, उदाहरणार्थ, अध्ययन अक्षमता (learning disability) ओळखताना सरासरीपेक्षा 2 SD कमी असलेली कामगिरी clinically significant मानली जाते. वैद्यकीय क्षेत्रात रक्तदाब, BMI, कोलेस्टेरॉल पातळी इत्यादींसाठी “प्रसामान्य श्रेणी” ठरवताना Normal Distribution चा आधार घेतला जातो. यामुळे व्यक्तीची स्थिती प्रसामान्य, धोक्याची किंवा अतिधोक्याची आहे का हे निश्चित करणे सोपे जाते.

भाकीत (prediction) मॉडेल्समध्येही Normal Distribution एक आधारभूत ढाचा म्हणून कार्य करते. Regression किंवा Bayesian विश्लेषणाच्या साहाय्याने भविष्यातील घटनांची शक्यता अंदाज करायची असल्यास Normal Distribution च्या तत्त्वांचा वापर केला जातो. उदा., विद्यार्थ्यांच्या पुढील परीक्षेतील कामगिरीचे अनुमान, चिंता किंवा अवसाद विकार विकसित होण्याचा धोका, एखाद्या उपचाराच्या परिणामकारकतेचे भाकित हे सर्व Normal distribution च्या साहाय्याने अधिक अचूकतेने करता येते.

प्रसामान्य वितरण वक्र हे मानसशास्त्रीय संशोधन, क्लिनिकल निदान, शैक्षणिक मूल्यांकन, सामाजिक विश्लेषण, वैद्यकीय तपासणी आणि वैज्ञानिक भविष्यवाणी यांच्या पायाभूत संकल्पना समजून घेण्यासाठी अनिवार्य आहे. मानवसमूहातील विविधता विश्लेषित करताना आणि व्यक्तीचे गटातील स्थान निश्चित करताना Normal Distribution एक नैसर्गिक आणि स्वीकारलेले मॉडेल म्हणून वापरले जाते. त्यामुळे प्रसामान्य वितरणाचे ज्ञान हे कोणत्याही संशोधकासाठी, मानसशास्त्रज्ञासाठी किंवा शिक्षकासाठी मूलभूत आणि अत्यंत आवश्यक आहे.

समारोप

संभाव्यता हे संख्याशास्त्राचे मूलभूत तत्त्व असून, त्यावरच Normal Distribution सारख्या महत्त्वपूर्ण संकल्पना उभ्या आहेत. मानसशास्त्र, वैद्यक, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी आणि समाजशास्त्र या सर्व क्षेत्रांमध्ये Normal Distribution हा डेटा समजून घेण्यासाठी अनिवार्य पाया मानला जातो. घटनांची शक्यता, डेटा संरचना, मापनांचे अनुमान आणि वैज्ञानिक निर्णय यांना आधार देण्यासाठी Probability आणि Normal Distribution यांचा अभ्यास अत्यंत महत्त्वाचा ठरतो.

संदर्भ:

Aron, A., Aron, E. N., & Coups, E. J. (2019). Statistics for psychology (7th ed.). Pearson.

Field, A. (2013). Discovering statistics using IBM SPSS Statistics (4th ed.). SAGE Publications.

Garrett, H. E. (2014). Statistics in psychology and education (10th ed.). Surjeet Publications.

Mangal, S. K. (2012). Statistics in psychology and education. PHI Learning Pvt. Ltd.